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Una moneta è un dado con due facce

Posted by JimsonWeird on settembre - 12 - 2011
scellino olandese

Scellino olandese. Foto realizzata da Edfnl

A ben vedere, una moneta altro non è che un dado con due sole facce, se non fosse per quel piccolo spessore che non le consente di essere totalmente piatta.

Se fosse totalmente piatta ed equa il lancio di una moneta (in inglese coin flipping o coin tossing) risulterebbe il gioco più imparziale e semplice che si possa immaginare. Non a caso dai tempi dei tempi si è usato proprio questo modo per risolvere le dispute – e tutt’oggi avviene, ad esempio, nei campi da calcio, se non ricordo male.

D’altronde le monete ci vanno bene anche così come sono, visto che lo spessore e le loro deformità non inficiano così notevolmente la loro quasi perfetta equità.

Meravigliose simmetrie del caos

Se lancio una moneta avrò o testa o croce: 2 possibilità. Vi sarete accorti tutti che se la lancio 2 volte avrò testa-testa; testa-croce; croce-testa; croce-croce; che sono 4 possibilità.

Se la lancio 3 volte TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC sono 8 possibilità; non vi sfuggirà quindi che con n lanci le possibilità saranno 2n.

Se poi penso che testa e croce sono equiprobabili viene logico pensare che la probabilità di fare 3 volte testa è la stessa di fare 3 volte croce, a parità di lanci.

 

Nel caso appena visto di 3 lanci abbiamo:

1 probabilità su 8 di fare 3 volte testa ( TTT )

3 probabilità su 8 di fare 2 volte testa ( TTC,TCT,CTT )

3 probabilità su 8 di fare 1 volta testa (TCC, CTC, CCT)

1 probabilità su 8 di fare 0 volte testa (CCC)

dove ovviamente 1+3+3+1 fa 8.

 

Si noti che se sostituissimo la parola testa con croce e tutte le T con C e viceversa tutto torna, elegantemente. Ma questi numeri (1,3,3,1) non sono altro che i coefficienti di un famoso triangolo aritmetico, approfonditamente studiato da Pascal:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

dove ogni numero è ottenuto dalla somma dei due che gli stanno sopra.

 

Se lanciassimo la monetina 7 volte avremmo 27 = 128 disposizioni, che è anche pari a 1+7+21+35+35+21+7+1 (coefficienti della settima riga)

Di queste 128 disposizioni, dunque,

1 su128 è la probabilità di fare 0 volte testa

7 su 128 è la probabilità di fare 1 volte testa

21 su 128 è la probabilità di fare 2 volte testa

35 su 128 è la probabilità di fare 3 volte testa

35 su 128 è la probabilità di fare 4 volte testa

21 su 128 è la probabilità di fare 5 volte testa

7 su 128 è la probabilità di fare 6 volte testa

1 su 128 è la probabilità di fare 7 volte testa

Ovviamente 1/128 + 7/128 + 21/128 + 35/128 + 35/128 + 21/128 + 7/128 + 1/128 = 1, perché la probabilità di tutti gli eventi deve sempre essere 1.

 

Se volessimo riscrivere una tabella delle probabilità, dunque, tenendo conto del fatto che sono sempre p <=1 potremmo riscrivere il triangolo così:

1
1/2 1/2
1/4 2/4 1/4
1/8 3/8 3/8 1/8
1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32
1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64
1/128 7/128 21/128 35/128 35/128 21/128 7/128 1/128

Non cambia praticamente nulla, se non che la somma delle righe dà sempre 1 ed un numero è dato dalla metà della somma di quelli che gli stanno sopra.

Osservando la simmetria delle probabilità: fare 3 volte testa su n lanci è come fare n-3 volte testa, ovvero 3 volte croce.

 

Processo di Bernoulli

 

Se lancio una moneta otterrò testa o croce. Se la lancio di nuovo potrò ancora fare testa o croce senza che i lanci passati abbiano nessuna influenza. I due eventi sono indipendenti. È il più semplice processo aleatorio discreto (o processo stocastico discreto) che ci venga in mente. Prende il nome di processo di Bernoulli. Ogni singolo lancio è una prova e si chiama infatti prova di Bernoulli ( Bernoulli trial). Ogni singolo risultato è una variabile aleatoria discreta.

Col processo di Bernoulli si possono modellare un’infinità di cose.

 

RW – Random Walk

 

Una delle cose che possiamo modellare con un processo di Bernoulli è un random walk monodimensionale, ovvero un percorso casuale su una retta. Tiro una monetina:

  • se faccio testa vado avanti di un passo
  • se faccio croce vado indietro di un passo

 

Dove mi troverò alla fine? O meglio, a quanti passi di distanza dal punto iniziale mi troverò alla fine?

Banale dirlo, ma il risultato è proprio lo stesso che abbiamo visto in precedenza*:

-7 passi -6 passi -5 passi -4 passi -3 passi -2 passi -1 passi 0 passi 1 passi 2 passi 3 passi 4 passi 5 passi 6 passi 7 passi
0 lanci 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 lanci 0 0 0 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 0 0
2 lanci 0 0 0 0 0 1/4 0 2/4 0 1/4 0 0 0 0 0
3 lanci 0 0 0 0 1/8 0 3/8 0 3/8 0 1/8 0 0 0 0
4 lanci 0 0 0 1/16 0 4/16 0 6/16 0 4/16 0 1/16 0 0 0
5 lanci 0 0 1/32 0 5/32 0 10/32 0 10/32 0 5/32 0 1/32 0 0
6 lanci 0 1/64 0 6/64 0 15/64 0 20/64 0 15/64 0 6/64 0 1/64 0
7 lanci 1/128 0 7/128 0 21/128 0 35/128 0 35/128 0 21/128 0 7/128 0 1/128

*il riempimento con 0 è per sottolineare che ad esempio con 4 lanci è impossibile trovarsi ad un passo dal punto iniziale

 

Conclusioni

 

Ma tutto questo va bene soltanto finché le probabilità di fare testa sono le stesse di fare croce: testa ha p = ½ e croce ha p = 1- ½ = ½. Se la moneta fosse truccata questi numeri non sarebbero più sufficienti.

 

Questi numeri non sono sufficienti neanche per un dado. Fare un 6 con un dado, a pensarci bene, è come fare testa con una moneta truccata, dove testa ha p = 1/6.

 

Ma questa nuova situazione la vedremo nel prossimo articolo.

Categories: Scienze pure

2 Responses so far.

  1. Edfnl scrive:

    E’ un onore essere presente nell’unico post che ho capito ^^

  2. JimsonWeird scrive:

    grazie a te della foto :)

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Jimson Weird

Un cyberalchimista moderno per un blog ipostatico
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