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Pascal, De Méré e i dadi

Posted by JimsonWeird on settembre - 6 - 2011

Pascal era uno dei più promettenti enfant-prodige della matematica e delle scienze, ma una notte del 1654 decise di abbandonare la matematica per la teologia.

Fu proprio prima di questa conversione che affrontò il problema della teoria della probabilità in uno scambio epistolare con Fermat, spronato dalla richiesta di un suo amico, il cavaliere De Méré, accanito giocatore di dadi.

[ Galileo : Cardano : Pascal : il gioco dei dadi : nascita della teoria della probabilità]

Ho voluto dedicare tre articoli alla nascita della teoria legata al gioco dei dadi: Cardano e il gioco dei dadi, Galileo e il gioco della zara e questo che state leggendo, ma preferisco non entrare nel merito di chi sia il padre della teoria della probabilità. È però lecito pensare che le opere di Cardano e Galileo, seppure precedenti, non ricevettero molta attenzione, anche perché furono stampate postume. Sta di fatto che Pascal e Fermat col loro scambio epistolare – ed in particolare Pascal col successivo trattato sul triangolo aritmetico noto oggi come triangolo di Pascal - dettero il via a questa nuova branca della matematica. Non a caso Huygens nel 1656 riprese i loro studi in De Ratiociniis in Ludo Aleae.

Inutile chiedersi dove sarebbe potuto arrivare Pascal se non si fosse interamente dedicato alla teologia, cimentandosi in problemi di ben altra natura ( la scommessa di Pascal è una famosa e controversa argomentazione sull’esistenza di Dio).

[ Il primo gioco di dadi del cavaliere De Méré ]

Il primo gioco proposto dal cavaliere prevedeva il lancio di un unico dado. Si vince se si ottiene almeno un 6 con 4 lanci consecutivi.

Il cavaliere pensava erroneamente che le probabilità fossero (1/6) * 4 = 2/3. Pensava cioè che fosse sufficiente moltiplicare la probabilità di fare un 6 con un solo dado (1/6) per il numero di lanci (4) per ottenere la probabilità voluta.

Pascal, in una delle sue lettere, dice che effettivamente il gioco è a vantaggio di chi lancia il dado, ma di 671 contro 625. In pratica di 1296 disposizioni 625 sono sfavorevoli e 671 sono favorevoli ( circa il 51,77%).

Approfondimento

Oggi potremmo risolvere il problema in maniera analoga a quella vista nell’articolo su Cardano, dove si ricavava che le probabilità di ottenere almeno un uno in 3 lanci sono 91/216, leggermente inferiori alla metà. Ovviamente le probabilità di ottenere almeno un sei in 3 lanci sono le stesse (il dado è equiprobabile).
Avevamo sfruttato la probabilità complementare di non ottenere mai un uno (analogamente vale per il sei):

1 – (5/6)^3 = 91/216

Se vogliamo dunque le probabilità di ottenere almeno un sei in 4 lanci sfruttiamo la stessa formula:

1 – (5/6)^4 = 671/1296

(5/6)^4 sono proprio le probabilità sfavorevoli (non ottenere mai un 6 su 4 lanci). 5^4 = 625 situazioni sfavorevoli contro 6^4 – 625 = 671 favorevoli, per dirla come Pascal.

Dunque fino a 3 lanci le probabilità sono meno della metà, da 4 lanci in poi sono più della metà.

[ Il secondo gioco di dadi del cavaliere De Méré ]

Il secondo gioco consisteva nel lancio di 2 dadi. Il cavaliere vinceva se avesse fatto almeno una coppia di sei in 24 lanci. Poiché sapeva che le disposizioni erano 36 ad ogni lancio, a causa del suo ragionamento sbagliato commetteva lo stesso errore di calcolo: pensava che i casi a lui favorevoli fossero 24/36 ovvero 2/3, come nel primo gioco.

Secondo le sue erronee deduzioni dunque i 2 giochi avrebbero dovuto avere le stesse probabilità, mentre invece in base alle sue osservazioni empiriche il gioco con un dado era più vantaggioso di quello con due dadi.

Pascal confermò questo suo dubbio, asserendo che fare una coppia di sei con due dadi in 24 lanci era un gioco svantaggioso rispetto a fare un sei con 4 lanci, dimostrando come il ragionamento di De Méré fosse sbagliato. Nelle lettere di Pascal non è presente nessun valore numerico, né ci viene spiegato come sia arrivato a questa formidabile deduzione. Le disposizioni possibili infatti stavolta non sono 1296 ma 22.452.257.707.354.557.240.087.211.123.792.674.816

C’è da chiedersi anche quanto debba aver giocato De Méré per accorgersene…

In conclusione:

Nel primo gioco ( ottenere almeno un 6 con un dado in 4 lanci) ci sono il 51,77% di chance di vittoria per chi lancia il dado.

Nel secondo gioco ( ottenere almeno una coppia di 6 con due dadi in 24 lanci) ci sono il 49,14% di chance di vittoria per chi lancia i dadi.

Approfondimento

Il problema si risolve come i precedenti, ma con l’ausilio di una calcolatrice. In questo caso le probabilità di non fare mai una coppia di sei sono 35/36 elevato al numero di giocate. La probabilità di fare almeno una coppia di sei in 24 lanci è dunque:

1 – (35/36)^24 ≈ 49,14 %

come giustamente dedotto da Pascal

[ Il problema del cavaliere De Méré : Le chevalier De Méré : Fermat : Pascal ]

Nello scambio epistolare tra Fermat e Pascal[1] si trovano molti spunti interessanti riguardanti la teoria combinatoria e questioni probabilistiche legate alla ripartizione della posta in gioco (quasi un anticipo della teoria dei giochi), con teoremi e scorciatoie suggeriti da Pascal. Probabilmente è grazie a queste scorciatoie che riesce a risolvere il problema appena visto, che viene risolto positivamente da Pascal sul finire della trattazione, prima di riprendere come argomento quello a cui si stava dedicando da tempo: le coniche.

 

[ Triangolo aritmetico: triangolo di Pascal : Triangolo di Tartaglia : Triangolo di Khayyám : Triangolo di Yang Hui ]

Sempre nel 1654, in seguito alle sue osservazioni sulla teoria combinatoria, scrisse un trattato fondamentale: Traité du triangle artihmétique (Trattato sul triangolo aritmetico) dove raccolse molti utilizzi di un particolare triangolo aritmetico che da allora prese il nome di Triangolo di Pascal. Tale triangolo, già noto fin dal medioevo, si rivela fondamentale per molti scopi e sarà argomento di numerose dissertazioni. Dopodiché Pascal scriverà solo di teologia, convinto che la matematica fosse sgradita a Dio.

[ La breve pausa del 1658 : a Dio piace la matematica : Pascal, la conica e la roulette ]

Una notte del 1658 Pascal stava male e si dedicò alla sua ossessione lasciata in sospeso: le curve. Ciò lo fece stare meglio e lo indusse a pensare che poteva anche riprendere a trattare di matematica. Ironicamente in francese la curva cicloide si chiamava roulette, anche se l’omonimo gioco d’azzardo all’epoca non esisteva ( ma c’è una relazione, come si vedrà in uno dei prossimi articoli) e l’opera di Pascal s’intitolò Histoire de la roulette.

Morì nel 1662, a 39 anni.

1. V. Sanford, M. Merrington, Fermat and Pascal on probability, University of York, Department of Mathematics

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Jimson Weird

Un cyberalchimista moderno per un blog ipostatico
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