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Galileo e il gioco della zara

Posted by JimsonWeird on agosto - 19 - 2011
Il quinconce, 5 punti sul dado

La disposizione dei 5 punti sul dado si chiama quinconce

Chissà se gli Aldobrandeschi, che si giocarono un castello al gioco della zara nel 1212 ( da cui il nome della cittadina di Castell’Azzara ) avevano intuito i risultati a cui sarebbe arrivato Galileo Galilei all’inizio del ’600, su richiesta di un altro accanito giocatore di zara suo contemporaneo, il Granduca di Toscana (tutti toscani).
L’opera di Galileo, analogamente a quella di Cardano, fu pubblicata molti decenni dopo, nel 1718.

[ La zara : gioco d'azzardo : 3 dadi ]
Il gioco della zara è un gioco di antiche origini (presumibilmente medievale) che consiste nel lanciare tre dadi e nell’indovinare la somma dei tre numeri che usciranno.
I giocatori si erano accorti già da tempo che 1-1-1 e 6-6-6 erano triplette sfavorevoli e in alcune versioni non potevano essere giocate. Si gridava ZARA in concomitanza di tali triplette sfavorevoli.
Zara viene dal volgare arabo sar o zar (dado) da cui verosimilmente deriva anche azzardo ( preceduto dall’articolo al-zar o al-sahr [1][2], lett. il gioco dei dadi )

[ La risposta di Galileo Galilei al problema della zara ]
Gli incalliti giocatori avevano capito che i numeri più probabili erano quelli prossimi alla media ( il minimo ottenibile con 3 dadi è 1-1-1 cioè 3 ed il massimo è 6-6-6 cioè 18 ), ovvero 9,10,11,12. Ma non capivano come mai, dalle loro osservazioni, sembrava che l’11 fosse più probabile del 12 nonostante sia l’11 che il 12 fossero ottenibili con 6 triplette ciascuno:
11 si ottiene infatti con 1-5-5, 1-4-6, 2-4-5, 2-3-6, 3-3-5, 4-4-3 (6 triplette)
12 si ottiene invece con 1-5-6, 2-5-5, 2-4-6, 3-4-5, 3-3-6, 4-4-4 (anch’esso 6 triplette)
Eppure ai giocatori sembrava che l’11 uscisse più spesso del 12.
Così Galileo mostrò loro che l’osservazione era corretta ( l’11 è più probabile del 12 ) ed il ragionamento no.
Già Cardano si era occupato di questo problema, ma la pubblicazione assai tardiva di quest’opera non la rese meritevole di attenzione (vedi Cardano il giocatore d’azzardo) anche se è presumibile che Galileo la conoscesse.

[ Simmetria dei risultati : proprietà probabilistiche ]

Sopra le scoperte dei dadi, Galileo Galilei (1612)

Che il 9 e il 10 si formino (e quel che di questi si dice intendasi de’ lor sossopri 12 e 11) si formino dico con pari diversità di numeri, è manifesto; imperocché il 9 si compone con 1.2.6., 1.3.5., 1.4.4., 2.2.5., 2.3.4., 3.3.3. che sono sei triplicità, ed il 10 con 1.3.6., 1.4.5., 2.2.6., 2.3.5., 2.4.4., 3.3.4. e non in altri modi, che pur son sei combinazioni. Ora io per servire a chi m’ha comandato, che io debba produr ciò, che sopra tal difficoltà mi sovviene, esporrò il mio pensiero, con isperanza, non solamente di scorre questo dubbio, ma di aprire la strada a poter puntualissimamente scorger le ragioni, per le quali tutte le particolarità del giuoco sono state con grande avvedimento e giudizio compartite ed aggiustate.[3]

Galileo sa che i risultati sono simmetrici, ovvero il 9 ha le stesse probabilità del 12 ed il 10 dell’11, per cui parlare di una coppia o dell’altra è equivalente.

Approfondimento

Si noti che il minimo punteggio possibile è 3 ed il massimo 18 e che i numeri più probabili sono quelli più prossimi al valor medio: (3+18)/2 è 10.5 ed i numeri più probabili sono proprio 10 ed 11. Anche con 2 dadi si arriva allo stesso risultato poiché il minimo è 2 ed il massimo è 12, infatti il risultato più probabile è (2+12)/2 = 7.
Analogamente per 4 il minimo è 4, il massimo è 24 per cui il risultato più probabile è (4+24)/2=14.
Più in generale, con n dadi il minimo è n ed il massimo è 6n per cui il valore più probabile sarà:
Per n pari (un solo valore più probabile): V =7n/2
Per n dispari (due valori più probabili): V1 = (7n+1)/2; V2 = (7n-1)/2

Il perché di questa simmetria si vedrà altrove, con la distribuzione di Bernoulli.

 

Ma perché i punti dei tiri di tre dadi non sono se non 16, cioè 3, 4, 5 sino a 18, tra i quali si hanno a compartire le dette 216 scoperte, è necessario, che ad alcuni di essi ne tocchino molte; e se noi ritroveremo quante ne toccano per ciascheduno, averemo aperta la strada di scoprire quanto cerchiamo, e basterà fare tale investigazione dal 3 sino al 10 perché quello che converrà a uno di questi numeri, converrà ancora al suo sossopra.[3]

Chiarisce fin da subito che le triplicità non coprono tutte e 216 le configurazioni possibili e ribadisce che è sufficiente fare lo studio da 3 a 10 perché gli altri risultati sono simmetrici.

[ Le particolarità : macroconfigurazione : microconfigurazione ]
Galileo fa notare che la triplicità composta da 3 numeri uguali ( 1-1-1, 2-2-2 ecc.) può essere composta in un solo modo.
La triplicità composta da 2 numeri uguali (ad esempio 1-1-2) si può ottenere in 3 modi diversi: il primo dado pari ad 1, oppure il secondo pari ad 1 oppure il terzo pari ad 1: 1,1,2; 1,2,1; 2,1,1
La triplicità composta da 3 numeri differenti (ad esempio 1-3-4) si può ottenere in 6 modi diversi: 1,3,4; 1,4,3; 3,4,1; 3,1,4; 4,1,3; 4,3,1

Quindi sebbene il 4 possa essere ottenuto solo con una triplicità (1-1-2) come il 3 (1-1-1) il 4 risulta 3 volte più probabile del 3.

Approfondimento

La triplicità può essere anche detta macroconfigurazione mentre i modi in cui si possono disporre i dadi sono le permutazioni possibili dei valori della triplicità. Un modo da origine ad una microconfigurazione.

[ Puntate sul 10 (o sull'11)! ]
A sintesi del suo lavoro Galileo riporta dunque una tabella simile a questa:

10 9 8 7 6 5 4 3
631 6 621 6 611 3 511 3 411 3 311 3 211 3 111 1
622 3 531 6 521 6 421 6 321 6 211 3
541 6 522 3 431 6 331 3 222 1
532 6 441 3 422 3 322 3
442 3 432 6 332 3
433 3 333 1
[27] [25] [21] [15] [10] [6] [3] [1]

Quindi effettivamente il 10 ha 27/216 probabilità di uscire contro le 25/216 del 9. Le probabilità dall’11 al 18 sono speculari, cambiano solo le triplette. Si noti che 27+25+21+15+10+6+3+1=108 possibilità. Sommate alle speculari danno 108 + 108 = 216

[ Contributo di Galileo Galilei alla Teoria delle probabilità : l'errore di stima ]
Non si pensi che sia questo il maggior contributo di Galileo a questa nuova scienza; questo mio articolo fa parte di una “tripletta” composta dall’articolo sull’opera di Cardano (De Ludo Aleae) e dall’articolo su Blaise Pascal che pubblicherò a breve, con lo scopo di avvicinare il lettore al mondo affascinante della probabilità con lo stesso approccio ed interesse che ha spinto i suoi esordi: il gioco, in particolare con i dadi.
Ben più seri ed interessanti sono i contributi che Galileo ha apportato alla teoria della probabilità riguardo il problema degli errori di misurazione, legati prevalentemente ai suoi studi astronomici, ma non solo.
Mi auguro di poter trattare tale argomento prima possibile, ma se volete approfondire vi lascio l’ottimo PDF che circola in rete dove il professor Mario Barra parla di tutto questo[3]

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Jimson Weird

Un cyberalchimista moderno per un blog ipostatico
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