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Cardano e il gioco dei dadi

Posted by JimsonWeird on agosto - 12 - 2011

Nel 1525 Gerolamo Cardano, matematico e giocatore d’azzardo, scrive De Ludo Aleae dove analizza il gioco dei dadi, gettando le basi della Teoria della Probabilità classica. Il gioco dei dadi sarà motivo di studi sulla probabilità anche per Galileo Galilei e per Pascal

I fondamenti del gioco dei dadi
Principio fondamentale, nel gioco dei dadi, è l’equalità, che dovrebbe applicarsi ai giocatori e agli spettatori, al denaro e al luogo, ai fritilli* e al dado stesso. Qualora ci si allontani da questa equalità a tuo svantaggio sei stolto, a tuo favore, ingiusto.1

Note storiche sulla Teoria della Probabilità

Il testo di Cardano fu pubblicato solo nel 1663; molto spesso si fa risalire l’origine della teoria della probabilità classica allo scambio epistolare tra Pascal e Fermat, avvenuto nel 1654 in seguito alle richieste di chiarimento di un gambler dell’epoca, il cavaliere De Méré ( vedi ad esempio C. Boyer, Storia della matematica o Luigi Accardi nell’introduzione a Concetti fondamentali di teoria delle probabilità / Andrei Nikolaevič Kolmogorov).

Per una vera trattazione completa sulla probabilità bisognerà però aspettare le due opere Ars Conjectandi di J. Bernoulli (1713) e Doctrine des chances di De Moivre (1718)

L’opera di Cardano inizialmente analizza le probabilità di ottenere almeno un 1 con un dado, poi con due, infine con tre, successivamente affronta il più complesso problema delle somme dei valori. Parla anche delle tecniche usate dai bari. La trattazione sui dadi finisce al capitolo 15, dopodiché passa alla trattazione sui giochi di carte (che non verranno affrontati in questo articolo)

Cardano è uno dei più importanti algebristi del ’500.

 

[ Un dado: equiprobabilità ]

 Nel capitolo 9 Cardano dice: “in sex revolutionibus singula puncta evenire deberent” (su sei lanci dovrebbero verificarsi i singoli valori ) ovvero ci spiega che in teoria su 6 lanci dovrebbero presentarsi tutti e 6 i valori. Dice cioè che tutti i valori nel lancio di un dado sono equiprobabili ( p = 1/6 ). Precisa dunque che questa equiprobabilità è basata sulla simmetria del dado stesso.

Dice “dovrebbero” perché in realtà spesso accade che un numero si presenti più volte. Si può dunque leggere tra le righe un’intuizione della legge dei grandi numeri: facendo molte giocate le possibilità che esca un particolare valore si avvicina sempre più a 1/6 delle giocate totali. Bisognerà aspettare 2 secoli perché Bernoulli formuli esplicitamente tale intuizione.

Più avanti nello stesso capitolo suggerisce che 1,3,5 hanno la stessa probabilità di 2,4,6 (ovvero la probabilità che esca un numero dispari è uguale a quella che esca un numero pari). Sta sottintendendo la probabilità come rapporto casi favorevoli/casi possibili. 1,3,5 sono 3 valori favorevoli e 2,4,6 sono valori avversi: 3 valori favorevoli su 6 possibili ci danno 3/6 = ½ delle probabilità che esca un numero dispari e simmetricamente ½ che esca un numero pari.

Approfondimento

Cardano chiama circuitus l’insieme dei 6 risultati possibili; corrisponde a quello che oggi chiameremmo spazio campionario.

Si noti che l’intero spazio delle possibilità è ½ + ½ = 1, ovvero che banalmente il complementare di un evento con probabilità p è un evento con probabilità 1 – p

 

[ Due dadi: teorema del prodotto logico o delle probabilità composte ]

Cardano spiega che con 2 dadi le possibilità totali sono 36.

Approfondimento

Anziché ottenere tale risultato come 36 = 6 x 6 ( 6 possibilità per il primo dado, 6 per il secondo ) lo ricava dicendo: 6 sono i punteggi simili ( 1,1 ) ( 2,2 ) (3,3 ) ( 4,4 ) ( 5,5 ) ( 6,6 ) e 15 i punteggi dissimili (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6), a cui si sommano altri 15 punteggi dissimili gemelli (reciproci). Effettivamente 6 + 15 + 15 = 36.Cardano sembra intuire, analogamente a quanto farà Galileo, una certa simmetria combinatoria.

Dice giustamente che le probabilità di ottenere almeno un 1 sono 11/36.

Approfondimento

Oggi converrebbe risolvere il problema sfruttando il problema complementare: la probabilità di ottenere almeno un 1 è complementare alla probabilità di non ottenere mai un 1. Se con un dado tale probabilità è 5/6 ( 5 valori su 6 sono differenti da 1 ) con 2 dadi la probabilità è semplicemente (5/6)*(5/6)=25/36. Se ne deduce che la probabilità desiderata di ottenere almeno un 1 è 1 – 25/36 = 11/36

Dice inoltre che giocando 2 volte 2 dadi le probabilità sono più di 1/6 ma meno di 1/4 dell’equalità ( ovvero di ½ ). Non è chiaro quale intuizione lo abbia portato a questo risultato. Difficilmente l’ha dedotto provando tutte le disposizioni, visto che risultano 36*36 = 1296 e che se le avesse provate tutte probabilmente avrebbe dato un risultato esatto.

Approfondimento

Dimostrare l’esattezza di tale risultato è piuttosto semplice: avendo precedentemente dimostrato che per un lancio di 2 dadi il risultato è 11/36 è ovvio, sempre per il prodotto logico, che per 2 lanci scorrelati tra loro le probabilità sono (11/36)*(11/36)=121/1296 che effettivamente sono meno di un quarto dell’equalità (1296/2) / 4 = 162 e più di un sesto dell’equalità (1296/2) / 6 = 108.Probabilmente a Cardano interessava riportare il valore a un quarto ed un sesto per motivi legati alla posta in gioco.

 

[ Tre dadi ]

Cardano si spinge oltre e deduce correttamente che con 3 dadi le possibilità (disposizioni) sono 216, dunque l’equalità è 216/2 = 108. Commette poi un errore, dicendo che le probabilità di ottenere almeno un 1 sono 108. Più avanti riporta invece il valore corretto, che è 91.

Approfondimento

Anche stavolta Cardano non ci spiega come ottiene il risultato, ma noi possiamo utilizzare il metodo precedentemente illustrato: ottenere almeno un 1 è il complementare di non ottenere nessun 1. Le probabilità di ottenere nessun 1 con 3 dadi sono (5/6)*(5/6)*(5/6)=125/216, da cui le probabilità di ottenerne almeno un uno: 1 – p = (216/216)-(125/216) = 91/216 sono leggermente inferiori alla metà.

 

[ Somma di punti ]

Cardano affronta per primo il problema più complesso della somma di punti e lo fa con ottimi risultati. Dice che con 2 dadi, ad esempio, 10 può essere ottenuto in 2 modi (5,5) (4,6) ma il secondo modo (4,6) ha un reciproco (6,4) per cui le probabilità sono 3 su 36 = 1/12.

Il risultato con 3 dadi è ancor più notevole e molto probabilmente verrà riutilizzato da Galileo Galilei per risolvere un problema niente affatto banale (almeno a quei tempi) che assillava i giocatori dell’epoca (sebbene l’opera di Cardano non fu pubblicata prima del 1663 è plausibile che Galileo conoscesse almeno i risultati di questo lavoro, vista l’importanza dell’autore).

Approfondimento

Cardano riassume le probabilità di uscita per ogni numero. Comprendendone la simmetria li dispone a coppie. Ad esempio il 9 ed il 12 hanno le stesse probabilità di uscire e sono pari a 25 ( 25/216, ovviamente ).

 

[ Aleatorietà ]

I dadi stimolano i matematici a risolvere problemi legati al caso, ovvero non deterministici. Non c’è una formula per sapere che numero uscirà. Ecco perché i fenomeni non deterministici vengono oggi detti aleatori: da Alea = dado, appunto.

 

*il fritillo era il bussolotto usato per il lancio dei dadi

5 Responses so far.

  1. N3B scrive:

    Molto interessante l’articolo, affrontai a suo tempo in parte l’argomento per avviare la tesi, ma da un approccio più psico-antropologico che matematico, più una questione di trip sul perchè l’uomo ha sempre sentito il fascino di giocare d’azzardo

    • JimsonWeird scrive:

      è un bell’argomento, certo non è facile.. d’altronde avvicinandomi alla teoria dei giochi mi sfugge sempre più perché la gente spenda in alcuni giochi d’azzardo palesemente sconvenienti, dove le probabilità sono immensamente sbilanciate a favore del banco, e come mai proliferino un sacco di non fair-game…

      • N3B scrive:

        quasi tutti sono all’oscuro di quanto sia conveniente o meno ogni singolo gioco, in realtà nessuno credo sia interessato a questo, tutti si fermano alla semplice possibilità di vittoria e le pubblicità puntano tutto su questo e non a caso tutte le tipologie di gioco prendono maggiormente piede in periodi di crisi economiche e sociali

  2. Mi è piaciuto! ne voglio ancora!

  3. JimsonWeird scrive:

    Grazie Gozzilla!

    Ho già pronto il nuovo post su Pascal, gli ultimi ritocchi e sarà pubblico!

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Jimson Weird

Un cyberalchimista moderno per un blog ipostatico
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